グラフ ニューラル ネットワークを使用した材料および構造の応力、ひずみ、変形フィールドの予測

Scientific Reports volume 12、記事番号: 21834 (2022) この記事を引用

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メトリクスの詳細

複雑な物理現象をシミュレートするための、正確かつ高速な計算ツールの開発は長年の課題です。 最近の機械学習の進歩により、シミュレーションへのアプローチ方法が革命的に変化し、純粋に物理学ベースから AI ベースのパラダイムに移行しました。 目覚ましい成果が達成されていますが、材料や構造における複雑な物理現象を効率的に予測することは依然として課題です。 ここでは、数百のデータから材料の複雑な機械的挙動を学習できる、グラフ ニューラル ネットワークを通じて実装された AI ベースの一般的なフレームワークを紹介します。 当社の深層学習モデルは、メッシュからグラフへの自然なマッピングを利用して、繊維や層状複合材料、格子メタマテリアルなどのさまざまな材料システムの変形、応力、ひずみフィールドを予測します。 このモデルは、塑性から座屈不安定性に至る複雑な非線形現象を捉えることができ、予測された物理場間の物理的関係を学習しているように見えます。 このグラフベースのフレームワークは、その柔軟性により、材料の微細構造、ベース材料の特性、および境界条件を物理的応答に結び付け、グラフ AI ベースのサロゲート モデリングへの新しい道を開くことを目的としています。

高性能の機械材料や構造を発見し、設計する試みがますます増えている中で、変形、応力、ひずみの分布は、他のあらゆる機械的特性や機能を推定するための重要な情報です。 最近の積層造形技術の爆発的な増加により、階層複合材料 1、2、3、幾何学的に連動した構造 4、5、6、構築されたメタマテリアル 7、8、9、10 など、優れた機械的特性と機能を備えた形態的および物理的に洗練された材料と構造が誕生しました。簡単に製造できるようになりました。 幾何学的複雑さ 11 と、異なる機械的特性を持つ構成材料 12 の複雑な配置のため、解析モデルや数値シミュレーションなどの従来の方法でこのような材料システムの物理的応答を予測することは、特に天文学的に大きな材料を高速かつ正確にスクリーニングする場合には容易に困難になります。データセットは材料の発見と設計のために実行する必要があります13。 さらに、超弾性、可塑性、座屈後の不安定性などの高度な非線形特性を伴う、伝統的に製造可能な材料や構造であっても、計算コストのかかるシミュレーションが必要であり、材料の研究や発見が制限されています 14,15。 より一般的には、材料および構造システムの変形および応力場の予測は、材料科学および工学において繰り返し行われるタスクであり、それに対する迅速かつ正確なアプローチを見つけることは未解決の挑戦的な問題です。 固体材料および構造の物理的挙動を効率的に予測するための解析モデルの限界に動機付けられ、物理ベースの計算シミュレーション、特に有限要素 (FE) モデリングは、これまで複雑な物理的な初期値および境界値の問題を解決するための重要な要素となってきました。多くの場合、高度に非線形の偏微分方程式が含まれます16。 しかし、近年の機械学習 (ML) 分野の出現と成長により、従来の数値ソルバーを上回る性能を発揮し、物理学を使用することで物理システムのシミュレーションが大幅に高速化される可能性が実証されました 17,18,19,20,21,22。流れの可視化 23 から、敵対的生成ネットワーク 24 を使用した極度の弾性特性を備えた建築材料の逆設計まで、情報を提供したニューラル ネットワークで速度場と圧力場を抽出します。 材料の発見と設計の重要性を考慮すると、材料のミクロおよびメソ構造を機械的特性 (構造から特性) に結び付けること (構造から特性)25、26、27、28、29、30、および逆設計 (つまり、指定された目標特性、最適な設計を見つける) 高性能の建築型メタマテリアル 10、13、24、31、32、33、34、35、36、37、38、39 が最近研究現場を支配しています。 どちらの場合も、材料の性能は基本的に、形状、ベース材料の挙動、および境界条件の影響により、応力やひずみの分布などの局所的な力学場によって決まります。 ピクセルベースの畳み込みニューラル ネットワークの利点を生かして、機械分野は主に「デジタル」（つまり、グリッドの形で離散化された）材料および構造システムについて研究されてきました40、41、42、43、44、45、46。応力場とひずみ場がデジタル階層複合材料上で予測される場合、または異種材料の微細構造が画像として考慮される場合です。 FE モデリングなどの最も一般的で利用されている数値手法の 1 つは、基礎となる偏微分方程式を解くために通常のグリッド表現ではなくメッシュ表現を採用します。 メッシュ情報をグラフ表現に直観的に拡張することにより、グラフ ニューラル ネットワーク (GNN) 49 はメッシュ ドメインを使用する利点をすべて継承します。 さらに、材料の微細構造だけでなく、構成材料の特性（複合材料など）や境界条件を物理的応答に結び付けることができる効率的な ML の一般的なフレームワークもまだ不足しています。

物理場予測のための GNN の最近の開発 50、51、52 ​​に触発され、材料および構造システムの応力、ひずみ、および変形場を予測するためのメッシュ形状に基づく一般的な方法を提案します。 画像ベースのモデル (畳み込みニューラル ネットワークなど) の代わりにディープ GNN を使用する利点は、潜在的に次のとおりです。 (i) ノッチ (つまり、欠陥) や材料の不連続部などの応力/ひずみ集中部に近い洗練されたメッシュ、および滑らかな曲線表面では、計算コストの増加を抑えながら、より正確な局所予測が可能になります。 (ii) 非構造化メッシュベースのモデルにより、解像度とは関係なくシステムの動作を学習できます。つまり、実行時に異なるメッシュ サイズを使用できます。 (iii) グラフの性質を考慮すると、構築されたトラス メタマテリアルは GNN によってより効率的に表現できます。

ここでは、メッシュからグラフへのマッピングを利用して、材料および構造システムの変形形状、応力およびひずみ場を予測するためのグラフベースの ML の一般的な方法を提案します。 提案されたアプローチの柔軟性と一般性を実証するために、異なる複雑な機械的現象、つまり単繊維複合材料の可塑性、層界面のしわ、格子メタマテリアルの座屈不安定性を経験する 3 つの異なる材料系に焦点を当てます。 我々は、GNN が変形形状と応力場を相関させる荷重条件、および材料の構造と応力 (ひずみ) および変形場の間の物理的関係を学習できることを示します。 畳み込みニューラル ネットワーク、変分オートエンコーダー、敵対的生成ネットワークなどの画像ベースの ML モデルは、階層複合材料 53、穴あき構造 54、欠陥のある積層造形微細構造 45、異種微細構造 42、48 の物理フィールドを予測するために広く使用されていますが、現在の研究ではは、GNN を使用して変形形状、応力、ひずみフィールドを予測するための、より柔軟で一般的な ML フレームワークを提供します。

提案された ML モデルの概略図。 メッシュ化された材料または構造システムは、最初にグラフにマッピングされます。 ここでは、さまざまな複雑さの 3 つの例を示します。 ノードとエッジのフィーチャはグラフ構造上で定義され、ノードの位置、ノードのタイプ (つまり、ベース マテリアルの位相)、または特定のノードの変位などのシステムの情報が伝達されます。 これらの特徴は、まず、より大きな潜在空間にエンコードされます。 次に、メッセージ パッシング モジュールがグラフの特徴を処理します。各ノードは隣接するノードから情報を取得し、システムのさまざまな部分間の関係を学習します。 変換された節点の量は、最終的に出力物理場、ここでは変形、応力、ひずみ場 (\(u_i\)、\(\sigma _i\)、\(\varepsilon _i\)) にデコードされます。 幾何学/位相情報 (\({\textbf{g}}\))、ベース材料の挙動 (\({\textbf{m}}\))、および境界条件 (\(\mathbf {\text {BC }}\))、モデルは考慮されたフィールドとの物理的な関係を学習します。 ML モデルをトレーニングすると、しわや座屈などの複雑な物理現象の影響を受けるさまざまな材料および構造システムの物理フィールドを正確に予測できます。

FE モデリングで使用されるメッシュ ドメインは、ソリッド、サーフェス、または線を定義する、接続された幾何学的要素 (線、三角形、四角形、四面体など) の集合です。 境界値問題は、要素の境界上の特定の位置、つまり節点 (通常は頂点と一致する) における対象の物理量 (変位や応力など) によって定義されることがよくあります。 エッジを介して接続されたノードのみで構成されるメッシュを考慮すると、計算グラフ \(G=(V,E)\) でメッシュ ドメインを識別します。ここで、V は、M 個のエッジ (E) を介して互いに接続された N 個のノードのセットを表します。 i 番目のノード (V 内) は、ベクトル \(v_i\) に n 個の特徴 (ノード座標やベースマテリアルのプロパティなど) をもたらします。 同様に、i 番目のノードと j 番目のノードを接続するエッジ (E 内) は、m 次元の特徴ベクトル \(e_{ij}\) (ノード間の距離など) を持ちます。 図 1 に示すように、私たちのモデルは、変位 (\(u_i\))、応力 (\(\sigma _i\))、およびひずみ (\(\varepsilon _i\)) フィールドを予測する問題に取り組んでいます (グラフで)代表体積要素 (RVE) や有限サイズの格子構造などの材料および構造システムにおけるノード)。 グラフ表現の柔軟性を考慮すると、材料の機械的応答を決定するすべての要因、つまり形状/トポロジー (\({\textbf{g}}\))、基本材料の挙動 (\({\textbf{m}}) \))、および境界条件 (\(\mathbf {\text {BC }}\)) は、ノードとエッジのフィーチャ、およびグラフの接続性にエンコードできます (次に 3 つの材料システムについて示します)。

GNN は、ベクトル化されたデータや画像データではなく、グラフ データ (つまり、非ユークリッド データ) を直接操作するディープ ニューラル ネットワークのクラスです55。 私たちの研究では、材料と構造の特性と条件、および物理場 (変位、応力、ひずみ) の間の関係 (図 1 の f) を近似するエンコーダー/デコーダー ML モデルを開発します。 私たちのモデルは、エンコーダー、メッセージ パッシング、デコーダーの 3 つのコンポーネントで構成されています (図 1)。 エンコーダは、マテリアル システムのグラフ表現から、それぞれニューラル ネットワーク \(\epsilon ^N\) と \(\epsilon ^E\) を使用して、ノードとエッジのフィーチャを (より大きな次元 d の) 潜在空間にエンコードします。それぞれノードとエッジです。 これらのエンコードされた特徴は、メッセージ パッシング モジュールによって処理されます。メッセージ パッシング モジュールは、各ノードの近隣から (ニューラル ネットワーク \(M^E\) を介して) 最初の情報を集約し、次にニューラル ネットワーク \(U^N) を使用してノードの状態を更新します。 \); これら 2 つの操作はメッセージ パスを表します。 L 個のメッセージが通過した後、潜在ノードの特徴はニューラル ネットワーク \(\delta ^N\) (つまり、デコーダー) によってフィールド出力に変換されます。 モデルは、FE シミュレーション (グラウンド トゥルース) によって得られた節点の物理量 (つまり、\(u_i\)、\(\sigma _i\)、\(\varepsilon _i\)) を監視することによってトレーニングされます。 全体として、GNN モデルは材料システムを表すグラフを入力として受け取り、物理フィールドを出力します。 モデルのパフォーマンスを評価する尺度として、グラウンド トゥルースと予測の間の節点の差として定義される誤差マップと、平均絶対誤差 MAE を使用します。 さらに、派生的な材料特性を予測するモデルの能力を測定するために、RVE 全体の構成的な応力-ひずみ応答の平均相対誤差を使用します (応力場の展開を研究する場合)。 詳細については、「方法」および「補足資料」を参照してください。

当社のトレーニング済み ML モデルは、薄い界面層のしわや格子材料の座屈不安定性などの複雑な機械現象を予測し、形状/トポロジー、母材特性、荷重条件を変形、応力、ひずみフィールドに関連付けることができます。 モデルは、変形と応力 (またはひずみ) 場の間の物理的関係をデータから学習し、入力情報が実際の局所現象を捉えるのに十分でない場合でも、現実的な全体的な機械的挙動を予測します (たとえば、固有モードが事後解析の入力として提供されていない場合)。座屈予測)。 実際、全体的な MAE を最小化しようとすると、考慮されている物理現象に関連するデータが存在しない場合、平均的な動作がモデルによってより簡単に捕捉されます (次の証拠が提供されます)。 さまざまなクラスの材料や構造における複雑な機械現象の物理学を学習および予測するためのディープ GNN の力を実証するために、次のセクションでは、ML モデルによって解決される 3 つの異なる問題を複雑さの順に報告します。

ここでは、平面ひずみ一軸引張荷重を受ける従来の一方向繊維複合材料に焦点を当てます。 私たちの方法の主要なアイデアを簡単に伝えるために、図2A、Bに示すように、単一ファイバーRVE（微細構造を表す）を分析することによって格子状の周期的なファイバー分布を考慮します。 2 つの構成材料、つまり硬質相 (つまり繊維) と軟質相 (つまりマトリックス) の微細構造が構成されます。 繊維は線形弾性を持ちますが、マトリックスは弾塑性 (J2 塑性) 挙動を持ちます。 ハイコントラストの材料の不連続性をシミュレートするには、ヤング率の観点から、硬質相は軟質相よりも 10 倍硬いです (「方法」を参照)。 微細構造の幾何学的形状を完全に特徴付けるために、繊維の体積分率 \(f_v\) が唯一の独立した幾何学的パラメータ g として使用されます。 \(f_v\) の各値には、固有の繊維半径が関連付けられています (図 2A はさまざまな微細構造を示しています)。 \(f_v\) を 0.05 ～ 0.5 の範囲で線形サンプリングすると、500 個の微細構造のデータセットが生成され、90 \(\%\) のトレーニング データと 10 \(\%\) のテスト データに分割されます (感度分析トレーニングデータ密度は図S12で報告されています）。 各 RVE の境界に周期境界条件 (PBC)、変位 \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\)、および応力 \(\sigma _i= (\sigma _i^{ FE シミュレーションから取得された 11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma _i^{12})\) フィールドは、ML モデルの出力のグランド トゥルースとみなされます。 微細構造のモデルの入力幾何情報 g は、(ノードの接続性を通じて) グラフ トポロジ、およびノー​​ドとエッジのフィーチャにエンコードされます。 具体的には、変形されていないノード座標 \(x_i\) とノード タイプ \(\xi _i\) (行列の場合は 0、ファイバーの場合は 1 に等しい) がノードの特徴 \(v_i\) にエンコードされます。 変形されていない構成における i 番目と j 番目のノード間の相対距離 \(x_{ij}=x_i-x_j\) とその絶対値 \(|x_{ij}|\) は、エッジ特徴にエンコードされます。 (e_{ij}\)。

テストデータセットからの対応する巨視的な応力-ひずみ曲線を備えた典型的な RVE を図 2B に示します。 繊維複合材料の小さく有限な変形と応力場を捉える ML モデルの機能を実証するために、図 2C ～ D で​​は、2 つの巨視的適用ひずみ値に対する FE シミュレーション (グラウンド トゥルース) とモデル予測の比較を報告します。 {\overline{\varepsilon }}\)= 1 および 6 \(\%\) (モデルは個別にトレーニングされました)。 弾性領域と塑性領域のテスト データ (つまり 50 個の微細構造) から、平均 MAE はそれぞれ \(\sim\) 0.02 と 0.04 が得られます。 微細構造の変形は、塑性領域の図 2C に示すように、ML モデルによって正確に予測されます。 同様に、図 2D に示す、ML で予測された応力成分 \(\sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33}\) の分布は、両方のひずみ領域の数値シミュレーションに非常によく似ています。 予測の精度は、エラー マップによってさらに確認されます。エラー マップは、精度の低下に寄与する、より大きな誤差を持つ小さな局所領域 (主に高応力およびひずみ勾配の繊維とマトリックスの境界に近い領域) をさらに特定します。 驚くべきことに、（主成分 \(\sigma _{11}\) と比較して）振幅が小さいせん断応力 \(\sigma _{12}\) のような複雑な応力パターンも予測によって捉えられます。図S2に示すように。 テストデータセット内の他の RVE の変形と応力場の比較は、図 S3 と S4 に報告されています。 多くの場合、フォンミーゼス応力などの等価応力分布が単一の出力として採用されますが45、48、私たちのモデルは応力テンソル場全体（つまり、複数の成分）だけでなく、対応する変形形状も学習します（図2C）。 提案されたモデルは、異なる繊維半径 (つまり、体積分率) の微細構造の力学を学習することで、希薄繊維強化複合材料と高密度繊維強化複合材料の両方における小さくて有限な変形と応力場を正確に予測できます。

横方向に荷重がかかった一方向繊維複合材料の弾性と可塑性を予測します。 (A) 異なる繊維体積分率を有するデータセットからの RVE の例。 (B) 巨視的な一軸引張ひずみ (\({\overline{\varepsilon }}\)) を受ける典型的な RVE (\(f_v\)=37.55 \(\%\)) と、対応する巨視的な応力-ひずみ曲線。 プロット内の記号は、小さい (\({\overline{\varepsilon }}\)=1 \(\%\)) と大きい (\({\overline{\varepsilon }}\)=6 \(\%) を示します。 \)) 変形。それぞれ線形弾性と可塑性に対応します。 (C) \({\overline{\varepsilon }}\)=6 \(\%\) の場合の、シミュレーションされた FE (つまり、グラウンド トゥルース) と ML で予測された変形メッシュの比較。 (D) (B) に示す、小さな変形と大きな変形について、テスト データセットからランダムに選択した、(B) に示す RVE における ML 予測応力場と FE シミュレーション応力場と、対応する誤差マップ (つまり、予測とグランド トゥルースの差) の比較。 。 応力場は対応する変形形状 (小さな変形と大きな変形の間の正確な相対スケール) 上にプロットされ、エラー マップは変形されていない構成で示されます。 せん断応力場 (\(\sigma _{12}\)) の同様の結果が補足資料で報告されています。

繊維複合微細構造に関する以前の結果では、ML モデルは、巨視的に適用されるひずみの異なるレベルに対して個別にトレーニングされました。 ここでは、モデルが異なる大きさでの複数の荷重ステップ、つまり変形と応力場の進化を同時に学習できるかどうかを調査します。 大きな局所変形を予測するモデルの能力を実証するために、最初に同じ以前のデータセットを考慮しますが、(PBC の代わりに) 変位境界条件が適用されます。 このようにして、メッシュのグラフ構造を利用して、境界条件、ベクトル \(u_i^{\mathbf {\text {BC }}}=(u_i^{(1,\mathbf { i 番目のノードに適用された変位を表す \text {BC }})},0)\) は、図 1 の追加のノード特徴として導入されています (つまり、\(\mathbf {\text {BC }}\) ）。 トレーニング データの生成とモデルのトレーニングの計算コストをさらに削減するために、ここではより粗いメッシュと線形弾性が採用され、合計 100 個のデータのみが考慮されます。 可塑性の仮説がなければ、巨視的な応力-ひずみ応答は線形です (それほど複雑ではありません)。 したがって、必要なトレーニング データの量が削減されます。 5 つの荷重ステップは、各微細構造に対して有効適用ひずみ (適用された変位と RVE' サイズの比) の 1 ～ 8 \(\%\) の範囲で線形にサンプリングされ、時間変数 (つまり、荷重ステップ) を次のように扱います。データ分布、つまり一連のグラフのパラメータ化。 さらに、アプローチをより一般化するために (パス依存の問題に対する将来のアプリケーション用に)、メッセージパッシングモジュールの後に 2 つの再帰層を挿入し、潜在ノードの特徴を隠れ状態 (メソッド) として解釈し、最終的に次の方法で出力フィールドに変換します。デコーダ（図1）。 \(\sim\) 0.07 の平均 MAE がテスト データ (すべての微細構造とステップの平均) で得られ、図 S5 とムービー S1 に示すように、ML 予測と FE シミュレーションの間に顕著な類似性が得られます。 微細構造の大きな横方向（荷重方向）の変形がモデルによって捕捉され、GNN が高忠実度 FE ソルバーに近い精度で滑らかな表面変形を予測できることが確認されました。

さらに、目に見えない加えられたひずみに対する物理的反応を予測するモデルの機能をテストするために、加えられたひずみ範囲 (1 ～ 8 %) で 5 つの追加の荷重ステップがサンプリングされ、合計 10 つの加えられたひずみレベルが抽出されます。 5 つのステップのみでトレーニングされたモデルは、10 種類すべてのひずみに対してテストされます。 結果は Movie S2 に示されており、\(\sigma _{11}\) 応力成分が表示されています。 前と同様に、平均 MAE \(\sim\) 0.07 が得られます。 簡潔にするためにここには示されていませんが、任意の数の荷重ステップ (最大 25 までテストしました) でひずみ範囲をサンプリングし、そのうちのいくつかでのみモデルをトレーニングすることによって、同様の結果が得られます。 したがって、モデルは、5 つのトレーニング ステップからのさまざまな荷重ステップで選択された物理場を正確に予測できます (適用されたひずみ範囲すべてにまたがります)。 このアプローチは、フィールドの進化の予測に必要なトレーニング データの量を減らすのに役立つ可能性があります。 実際、いくつかのタイムステップでモデルをトレーニングすることにより、その間の目に見えないひずみレベルについても場の展開を予測できるでしょう。

私たちのモデルがより複雑な応力場から微分的な材料特性を正確に予測できることをさらに実証するために、ここでは PBC とともに複合材料のマトリックスに線形硬化塑性を導入します (詳細は「方法」を参照)。 これらの後者は追加のノード特徴として表され、 \(\varepsilon _i^{\mathbf {\text {BC }}}\) は適用された巨視的ひずみ成分 (図 1 の BC) です。 モデルは 10 の荷重ステップでトレーニングされ、同じ範囲 (0 ～ 8 %) の 25 レベルのひずみでテストされます。 図 3 では、繊維体積分率が異なる 2 つの RVE の予測およびシミュレーションされた応力-ひずみ応答と、テスト データセット上の平均相対誤差分布が、2 つの非ゼロの巨視的応力成分 (RVE の平均) について報告されています。 物理場ではより高い平均 MAE 値 (\(\sim\) 0.10) が得られますが、巨視的予測はシミュレーションされた応答と事実上区別がつかず、成分 \(\sigma _{ 11}\) と \(\sigma _{33}\) です (図 3)。 さらに、平面ひずみ一軸張力の情報を GNN モデルに入力しなくても、予測された巨視的応力はそのような適用条件と一致します。 したがって、モデルは応力成分 \(\sigma _{22}\) と \(\sigma _{12}\) がゼロであり、分散は主成分 \(\ のピークの 1 % 未満であると予測します)シグマ_{11}\)。

全体として、より大きな変形またはより複雑な線形硬化塑性を伴う弾性相のみで構成される 2 つのデータセットに対する GNN モデルのパフォーマンスは有望であると思われます。 ただし、場の発展の平均誤差 (\(\sim\) 0.07 ～ 0.10) は、個別の予測 (\(\sim\) 0.02 ～ 0.04)、つまり、特定の巨視的ひずみで訓練されたモデルの平均誤差よりも高いことが観察されています。 。 弾性ケースでは、それぞれ 5 つの荷重ステップを持つ 90 個の微細構造 (トレーニング データとテスト データの比率 90:10) のみがトレーニング データとして使用されるため、データセットが非常に小さくなり、最大精度が制限されます。 プラスチックケースの場合、それぞれ 10 の荷重ステップを持つ 450 個の微細構造が使用されます。 ただし、線形硬化可塑性 (マトリックスの特徴付け) がさらに複雑になると、経路依存の物理現象が導入され、より多くのデータが必要になります。 予測パフォーマンスとトレーニングコストの間のトレードオフを理解するために、図S12で感度分析を報告します。これは、トレーニングデータセットが大きくなると、平均MAEだけでなく散乱も減少することを示しています。 大きなグラフが含まれるため (メッシュからグラフへのマッピング)、将来の研究では、そのようなグラフ サイズを縮小する方法に焦点を当て、より大きなトレーニング データセットを活用する方法を提供する可能性があります。

一方向繊維複合材料の GNN 予測応力場展開からの微分的な巨視的材料応答。 \(f_v = 40.5\) % (A) および \(f_v = 5.8\) % (B) の ML 予測および FE シミュレーション場から導出された応力 - ひずみ曲線。 (C) 2 つの非ゼロ巨視的応力成分のテスト データセットで評価された平均相対誤差分布。 (C) の文字は、(A) および (B) の対応する RVE の個々の非ゼロ応力成分の相対誤差を指します。 (A) と (B) の x 軸のひずみは、巨視的に適用されたひずみ (\({\overline{\varepsilon }}\)) です。 応力-ひずみ曲線導出の詳細については、「方法」を参照してください。

複雑な挙動を示す可変ベース材料組成を持つ材料システムの応力場とひずみ場は、高解像度画像を使用したピクセルベースの ML モデルによって合理的に予測できますが 45、47、48、複雑な変形形状も正確に予測するには計算コストがかかります。 GNN モデルを使用してこの課題に対処するために、例として、ここでは柔らかい層状複合材料におけるしわのある界面 (つまり、不安定性) の形成に焦点を当てます 56。 層状複合材料（図4A）は、厚さtの薄く硬い界面層で構成され、距離dで周期的に配置され、柔らかいマトリックスに埋め込まれています。 どちらの相も線形弾性を持ち、軟相と硬相のヤング率はそれぞれ \(E_0\) と \(E_1\) です。 周期的な幾何学模様を仮定して、巨視的ひずみ \({\overline{\varepsilon }}\)= 9 \(\%\) を加えた平面ひずみ一軸圧縮を受ける、サイズ d の RVE (図 4A の挿入図) を考えます。 PBC の下にあります (「メソッド」を参照)。 すでに知られているように、層の不安定性は、距離と厚さの比 d/t、ヤング率比 \(E_1\)/\(E_0\)、および行列のポアソン比 \(\nu _0\) によって支配されます56。 モデルがベース材料の特性 \(m=(E,\nu )\) と変位場およびひずみ場 \((u_i, \varepsilon _i)\) の間の関係を学習できるかどうかを検証するために、幾何学パラメーター g を維持します。 = d/t 定数 (長波不安定性を回避56)、\(E_1\)/\(E_0\) と \(\nu _0\) をそれぞれ 50 ～ 1000 と 0.01 ～ 0.49 の範囲で変化させます。 \(E_1\)/\(E_0\) の 100 個の値、および \(\nu _0\) の 5 個の値を線形サンプリングして、500 個の構成 (つまり、合計の組み合わせ) のデータセットが構築され、90 個の \( \%\) のトレーニング データと 10 \(\%\) のテスト データ (図 S12 で報告されたトレーニング データ密度による感度分析)。 基本マテリアル情報は自然にノード フィーチャにエンコードされ、以前に使用されたノード タイプ \(\xi _i\) を各ノードの m に置き換えます。

圧縮された界面層は、図4Bに示すように、座屈不安定性が始まると波状パターンに変形する傾向があります。 さまざまな層とマトリックスの特性について、さまざまな波状の変形形状と歪み場の振幅が示されます（図S6を参照）。 ここで最も困難な作業は、さまざまな基材特性に対する界面層の座屈時の複雑な波状パターン (つまり、変形した形状の振幅と波長) とひずみの等高線 (つまり、空間分布と局所的な振幅) を捕捉することです。 実際、現象がより複雑になり、より大きな変形が発生するにつれて、ML モデルはテスト データセット上で前の例 (繊維複合材) と同様の低い MAE 値を持たせるのに苦労します。 それにもかかわらず、MAE 値 (トレーニング データセットとテスト データセットの両方) の不均一な分布が示されています (図 S7)。 図 4C に示すように、ほとんどの予測は低い MAE を示し、FE でシミュレートされた波状パターンおよびひずみ分布によく似ています。 \(\sim 0.22\) という (テスト データセット上の) 平均 MAE 値は、界面に近いいくつかの領域 (図 4C の誤差マップ) と、一部のテスト構成では波形の変形形状が得られます (図 S7 ～ S8)。 具体的には、\(\nu _0\) とはほぼ独立して、データセット全体の予測の MAE は、\(E_1\)/\(E_0\) が高い微細構造ほど小さくなる傾向があり、これは長波長、高波長に対応します。振幅波状パターン（図S7）。 これらの結果は、変形の大きさではなく複雑さが予測の精度を制限することを示唆しています。 剛性比が低い場合に間違った波状パターン (つまり、波長) を予測したにもかかわらず、トレーニングされた ML モデルは、界面層の曲率とひずみ分布との関係を学習する傾向があります (図 S8)。 各ひずみ成分について、正と負のひずみが波状パターンの凹面に関連付けられます（図S8）。 たとえば、図 S8 のコンポーネント \(\varepsilon _{11}\) と \(\varepsilon _{22}\) を考慮すると、予測された波長は実際の波長と一致しませんが、複合材料の引張領域と圧縮領域は一致しません。マトリックスは層の凹面に基づいて定性的によく捕捉されます。 予測をより適切に評価するために、図 4D では、FE でシミュレーションされたものと ML で予測されたしわのあるメッシュ界面を比較しています。 滑らかな数値解からの予測された変形には偏差が存在しますが (図 4D の挿入図)、2 つのメッシュは全体的に重なっており、層の座屈後の形状の振幅と波長が ML モデルによって正確に予測されていることを示しています。 この例は、局所的な現象が発生すると予想される領域の近くで解像度を向上できる GNN が、純粋にデータ駆動型の教師付き設定においてのみ、局所的な複雑な現象を正確に捕捉できることを示しています。 将来の研究に向けて、GNN モデルに物理的制約を導入し、精度と一般化性を高めることで、ML 予測ソリューションの滑らかさが強化される可能性があると主張します。 画像ベースの ML モデルが同じデータセットを使用してこの問題を同様に解決できるかどうかを調査するために、U-Net (可変ベース材料特性を持つ異種材料に最近採用されました 48) を実装し、結果を図 S9 に報告します。 知覚フィールドを変更して (カーネル サイズ、拡張ステップ、ネットワークの深さを増加させる) いくつかの経験的テストを行った後、U-Net モデルは、平均 MAE が比較的低い (3 つのコンポーネント上の) 均一なひずみフィールドを予測する傾向があります。 (\sim\) 0.07 ですが、局所的な変形はまったくキャプチャされていません。 これらの結果は、GNN フレームワークが、可変ベース材料特性を持つ複合材料の高度に局所的な現象を予測できるだけでなく、画像ベースの ML モデルと比較してトレーニング データの必要性を軽減できることを示唆しています。

層状複合材料の界面層のしわを予測します。 (A) 柔らかいマトリックスに浸された薄い硬い層で構成される層状複合材料の概略図。 どちらの相も線形弾性を持っています。 挿入図は、層間の距離と層の厚さ t に対応するサイズ d の任意の RVE を示しています。 ここでは、幾何学的パラメータの代わりに、2 つの相の材料特性 (E,\(\nu\)) が変化します。 (B) 巨視的一軸圧縮 (\({\overline{\varepsilon }}\)) 下のしわのある界面と、対応する巨視的応力-ひずみ曲線。 この記号は、\({\overline{\varepsilon }}\)=9 \(\%\) のしわ形成後の状態を示します。 この構成は、ヤング率比 \(E_1\) / \(E_0\)=741 および行列のポアソン比 \(\nu _0\)=0.13 によって特徴付けられます。 (C) \({\overline{\varepsilon }}\)=9 \(\%\ の場合、テスト データセットからランダムにサンプリングされた、(B) に示す界面層の ML 予測ひずみフィールドと FE シミュレーションひずみフィールドの比較)、対応するエラー マップを含みます。 応力フィールドは対応する変形形状上にプロットされ、エラー マップは変形されていない構成で表示されます。 ひずみ成分 \(\varepsilon _{33}\) は単純ひずみ仮説のため全体的に 0 であるため、ここでは報告しません。 (D) \({\overline{\varepsilon }}=9 \%\) の場合の (B) の構成の ML 予測変形メッシュと FE シミュレーション変形メッシュの比較。

画像表現は一般に、以前に分析されたような完全に高密度の材料システムを表現する場合には効果的ですが、固相がまばらに分布している格子構造など、体積分率が低い構築されたメタマテリアルを扱う場合には効果的ではありません。 これらの構造は、グラフ表現により自然に適しています。 例として、ここでは GNN モデルを利用して、圧縮荷重下での有限サイズの格子構造の変形と応力場を予測します (図 5A、B)。 以前の研究で紹介したボトムアップ生成手順に基づいて、762 個の構造のデータセットが、ランダムに生成された単位セルの 2 \(\times\) 2 テッセレーション (補足資料) で構築され、トレーニング データセットとテスト データセットで以前と同様に分割されます (図S12で報告されているトレーニングデータ密度を使用した感度分析。 格子構造は、初期せん断弾性率 \(\mu\) と均一な厚さ t をもつ非圧縮性超弾性梁で構成され、一定の体積分率 \({\overline{\rho }}\) を持ちます。 2 つの異なる変形領域、つまり小さな変形と大きな変形で個別にトレーニングされた ML モデルは、異なるノードとエッジの特徴、および出力によって特徴付けられます。 小さな変形の場合、変形していないメッシュ (ビームごとに 10 個のビーム要素) のノード座標のみがノード フィーチャにエンコードされ、以前と同様のエッジ フィーチャがここで採用されます。 出力は、梁に沿った変位場 \(u_i\) と軸応力 \(\sigma _i= \sigma _i^a\) によって表されます。 大きな変形の場合、局所的な座屈を考慮して、重要な固有モード座標 \(\tilde{x_i}\) がノード フィーチャにさらにエンコードされ、対応するノード間距離 (\(\tilde{x_{ ij}}\) と \(|\tilde{x_{ij}}|\)) はエッジ フィーチャに含まれます。 変位フィールドのみがモデルによって出力されます。 詳細については、「方法」および「補足資料」を参照してください。

ML モデルが小さな変形と大きな変形に対する不均一な格子構造の圧縮挙動を学習できることを実証するために、図 5C、D で、小さな有効変形に対する FE シミュレーションおよび ML 予測応力分布 \(\sigma _i^a\) を報告します。ひずみ (\({\overline{\varepsilon }}=0.1 \%\))、座屈不安定開始後の変形形状 (\({\overline{\varepsilon }}=3 \%\))、3 つテスト データセットからランダムにサンプリングされたさまざまなアーキテクチャ (他の格子については図 S10 を参照)。 弾性領域では、応力場は MAE 値 \(\sim 0.29\) を使用してモデルによって全体的に捉えられます (図 5C)。 荷重のほとんどは、荷重方向に沿った梁を介して支えられるため、格子構造は主に水平方向 (x 方向) に沿って応力を受けます。 したがって、この動作を予測することは、ML モデルが圧縮荷重下の構造の力学を効果的に学習していることを示唆しています。 図 5C の誤差マップは、主に格子接合部で表されるいくつかの局所領域を除いて、これらの結果を裏付けています。この領域では、応力集中が ML モデルによって平滑化され、全体の損失が低減される傾向があります。 ただし、この制限は、この例の範囲を超えて、局所的な亀裂や損傷のメカニズムを考慮せずに、構造の全体的な機械的挙動の予測に影響を与えることはありません。 臨界適用変位に達すると、構造は局所的に座屈し、荷重方向に対して横方向に変形が局所的に発生します (図 5B)。 図 5D に示すように、構造の全体的な変位 (したがって剛性) は ML モデルによって取得されます。 テスト データセット上の MAE 値 \(\sim 0.39\) に収束する高度に局所的な非線形変形にもかかわらず、ML モデルは満足のいく近似で複雑な座屈後の変形形状も予測できます (図 5D)。 予測されたビームとシミュレートされたビームの局所的な変形の間の不一致と、全体的な構造変位の良好な近似は、モデルが全体的な誤差を最小限に抑えようとして、トレーニング中に局所的な最小値に陥っていることを示唆しています。 私たちは、はるかに大規模なトレーニング データセットとモデル内の物理的制約により、このような局所的な不一致を軽減できると期待しています。 また、重要な固有モード情報を入力として使用しないと、モデルは全体的な変位を適切に予測しながら、座屈のない変形構成に収束する傾向があることにも気付きました (図 S11)。 この観察は、GNN モデルが特定の入力と出力間の実際の物理的関係を学習する傾向があることを示唆しています (図 1)。

格子メタマテリアルの圧縮挙動を予測します。 (A) 圧縮荷重下の代表的な格子構造。 (B) (A) の構造の正規化された有効応力-ひずみ曲線と、小さな (\({ \overline{\varepsilon }}=0.1 \%\)) および大きな変形 (\({\overline{\varepsilon }}=3 \%\)) です。 (C) テスト データセットからランダムに選択された 3 つのジオメトリにおける小さな変形 (\({\overline{\varepsilon }}=0.1 \%\)) の ML 予測応力場と FE シミュレーション応力場の比較と、対応するエラー マップ。 (D) \({\overline{\varepsilon }}\)=3 \(\%\) の ML による予測および FE による座屈後の変形形状のシミュレーション。 母材は、初期せん断弾性率 \(\mu =14.5 \,\hbox {MPa}\) の非圧縮非線形弾性 (超弾性) を持ちます。

ここでは、GNN を使用して複雑な物理現象を示す材料および構造システムの変形、応力、ひずみ場を予測するためのメッシュベースの ML アプローチを提案しました。 ニューラル ネットワークは、数百のシミュレーション データに基づいてトレーニングされていますが、界面層のしわや構築されたメタマテリアルの座屈不安定性などの複雑な現象を正確に予測するため、高い汎用性と幅広い適用性を示します。 自然なメッシュからグラフへのマッピングと GNN の表現力を利用して、私たちのモデルは、繊維複合材料から建築構造物に至るまで、さまざまなクラスの材料と構造における幾何学とトポロジー、構成材料の特性、境界条件、力学分野の間の物理的関係を学習します。格子構造（図1）。 機械システムの FE シミュレーションを代理または補完するという野心的な目標により、提案されたモデルは一度トレーニングされると、計算時間を分、時間、または日 (FE ソルバーの場合に典型的) から数分の 1 秒に劇的に短縮します (表 S3 を参照)。 さらに、トレーニング プロセスが計算上のボトルネックになりますが、トレーニングが完了すると、GNN は問題の複雑さとは無関係にトレーニングされた特定のクラスの材料および構造における機械場を迅速に予測できます。

それにもかかわらず、(1) GNN のグラフ構造、および (2) ここで使用されている純粋に監視されたデータ駆動型のセットアップに関連する制限が存在します。 (1) に関しては、GNN はトレーニング中にメモリを要求します。 したがって、メッシュ内のノードの数が増加するにつれて、トレーニング フェーズのコストはますます高くなります。 さらに、メッシュのリファインメントとファーフィールド現象の間にはトレードオフが現れます。つまり、メッシュリファインメントによってローカルフィールドがより正確に予測されるほど、ファーフィールド現象（つまり、情報）を正確に捕捉するためにより多くのメッセージパッシングステップ（計算コスト）が必要になります。メッシュリファインメントから空間的に遠く離れています)。 (2) に関して、私たちのモデルは少量のトレーニング データ (数百) で複雑な現象を予測できますが、一般化性 (例: 「目に見えない」境界条件の予測) にまだ欠けており、精度も完全に比較できません。高忠実度の数値ソルバーのそれまで。 将来の研究では、GNN ソリューションを物理法則に制限することで、トレーニング時間は長くなりますが、精度が大幅に向上する可能性があると考えられます22。 これらのトレードオフは無視できるものではありませんが、提案されたグラフベースの ML フレームワークは、構築されたトラス メタマテリアルとして、特にセルラー ソリッドに適した、より強力なサロゲート モデルに向けた第一歩となります。 モデルの適用性を評価するために、図 S12 でトレーニング データ密度によるモデルのパフォーマンスの感度分析をさらに報告します。 3 つの力学問題については、フィールド予測の平均精度はすぐには向上しませんが、トレーニング密度に応じてばらつきが大幅に減少することを示します。

概念の実証として、我々はさらに、我々のアプローチを複数の荷重ステップ（例えば、異なる適用ひずみ）下での材料システムの力学的場の予測に拡張できることを実証しました。 ダイナミック グラフ フレームワーク 55 で GNN とリカレント ニューラル ネットワークを組み合わせて、適用されるさまざまな外部励起 (RVE の巨視的ひずみなど) に対する物理場を予測することは、非線形弾性などの材料の非線形および経路依存現象を徹底的にモデル化するための有望なツールとなる可能性があります。そして可塑性。 必要なすべての情報を運ぶ可変物理場は、図 3 に示すような巨視的な材料応答 (応力-ひずみ曲線など) を提供し、そこから強度や靭性などの材料特性を簡単に抽出できます。 さらに、グラフ表現の柔軟性と GNN の表現力に起因して、混合荷重条件は、ノードまたはグローバル グラフ機能 55 (境界ノードに適用されるさまざまな変位コンポーネントなど) を通じてモデルに簡単にエンコードでき、トポロジーの最適化が可能になります。提案されたモデルと統合して、曲線と表面の滑らかさに関連する問題に対処します。 この研究は、グラフベースの ML モデルを使用して複雑な物理現象を予測する新しい方法を提供するだけでなく、機械的または機能的トラス メタマテリアルなどの高度なマテリアルを設計するための新しい道も開きます。

データセットは、商用ソフトウェア Abaqus/Standard (Dassault Systemes Simulia Corp.、2017) を使用した FE モデリングによって生成され、ML 結果と比較するためのグラウンド トゥルースとして変位、応力、ひずみフィールドを考慮しています。 すべてのシミュレーションは静的荷重下で 2D で実行されます。 0.01 の固定タイム ステップが設定されるマルチステップ予測 (つまり、物理場の展開) を除き、自動タイム ステップ手順 (つまり、Abaqus の増分サイズ) が採用されます。 静的荷重は全体で 101 ステップに分割されます。 対数ひずみ (Abaqus の LE) は、大きな変形を伴うシミュレーションのひずみ測定として使用されます。 繊維および層状複合材料の場合、平面ひずみ要素 (Abaqus の「CPE4R」) が 0.03 のグローバル メッシュ サイズで使用され、界面上の 40 × 10 要素 (図 4A の x および y 方向) を持つ局所的にリファインされたメッシュが使用されます。それぞれの層。 ティモシェンコ ビーム要素 (Abaqus の B22) は、物理ビームあたり 10 要素のグローバル メッシュ サイズで格子構造のメッシュ化に使用されます。 安定した結果を得るために、3 つの材料系に対して収束解析が実行されます。 すべての計算は、Intel Xeon E3-1270、3.60 GHz、CPU コアで実行されます。

最初のデータセットは、0.05 ～ 0.5 の範囲で線形にサンプリングされた、さまざまな繊維体積分率 (つまり、繊維の半径) を特徴とする 500 個の RVE で構成されています。 RVE の形状は正方形で、サイズは 1 mm に任意に設定されます。 PBC の影響を受けた各 RVE に 6 \(\%\) の x 方向 (図 2A) に沿った巨視的平面ひずみ引張荷重ひずみを適用すると、節点変位 \(u_i=(u_i^1,u_i^2) \)、および 2 つのフィールド \(\sigma _i= (\sigma _i^{11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma _i^{12})\) を強調します。荷重ステップ (ひずみの 1 および 6 \(\%\)) がグランド トゥルースとしてデータセットに収集されます。 マトリックスは、ヤング率 200 MPa、ポアソン比 0.3、降伏強度 10 MPa の弾塑性 (J2 完全塑性) 固体としてモデル化されています。 硬質相を表すために、ヤング率 2000 MPa、ポアソン比 0.3 の線形弾性モデルがファイバーに代わりに採用されます。 マルチステップ予測の場合、2 つのデータセットが生成されます。 1 つ目は 100 個の RVE で構成され、変位境界条件が (PBC の代わりに) 最大 8 \(\%\) の有効ひずみ (適用された変位と RVE' サイズの比) まで課されます。 線形弾性モデルは、以前と同じパラメータを使用して両方のフェーズに採用されます。 2 番目の場合は、500 個の RVE で構成され、PBC には巨視的に適用されるひずみの最大 8 % が加えられます。 接線弾性率 \(E_y = E \, \text {/} \, 3\) の線形硬化塑性を使用してモデル化されるマトリックスを除き、以前と同じ基本材料特性が採用されます。 図 3 に示す巨視的ひずみ - ひずみ曲線は、適用された巨視的ひずみ値ごとに局所的な応力場を平均することによって導出されます。 PBC の詳細については、補足資料を参照してください。

データセットには、ベース材料特性の 500 の異なる組み合わせが含まれています。 2 つの相は線形の弾性応答を持ちます。 ソフト相 (つまり、マトリックス) は、定数のヤング率 \(E_0=200 \,\text {MPa}\) と、0.01 ～ 0.49 の範囲の変数ポアソン比 \(\nu _0\) を持ちます。 硬質相 (つまり、界面層) のヤング率 \(E_1\) は \(10^4\)–\(2 \times 10^5\,\hbox {MPa}\) の範囲内であり、定数です。ポアソン比 \(\nu _1=0.3\)。 \(E_1\) の場合は 100 個の値、\(\nu _0\) の場合は 5 個の値を線形サンプリングすると、500 個の組み合わせが得られます。 データ生成を制限するために、幾何パラメータ \(g=d\)/t は 50 に設定され、任意に \(d=1 \,\text {mm}\) と仮定されます。 界面層の座屈後の非線形挙動 (つまり、しわ) を、(1) 固有値解析を実行し、(2) 臨界固有モードを不完全として RVE に適用し、(3)大きな変形。 PBC の影響を受ける各 RVE に 9 \(\%\) の x 方向 (図 2A) に沿った巨視的な圧縮荷重ひずみを適用すると、節点変位 \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) 、およびひずみ、\(\varepsilon _i= (\varepsilon _i^{11},\varepsilon _i^{22},\varepsilon _i^{33},\varepsilon _i^{12})\) フィールドは、グランドトゥルースとしてのデータセット。 PBC とシワの詳細については、補足資料を参照してください。

データセットは、一定の相対密度 \({\overline{\rho }}=20 \%\) でランダムに生成された単位セルの 762 個の有限サイズ \(2 \times 2\) のテッセレーションで構成されています (補足資料を参照)。 格子梁は、面内の厚さ \(t= 0.14 \,\hbox {mm}\) と深さ \(H=10 \,\hbox {mm}\) の長方形の断面が特徴です。 境界効果を軽減するために、 \(t= 0.30 \,\hbox {mm}\) を使用して構造の周囲のフレームを厚くすることが考慮されます。 初期せん断弾性率 \(\mu =14.5 \,\text {MPa}\) の非圧縮性超弾性 Neo-Hookean 材料モデルが格子梁のモデル化に採用されています。 一軸圧縮変位 (x 方向に沿って、図 5A) が右側のエッジに適用され、左側が拘束されます。 座屈不安定性を考慮するために、(1) 固有値解析を実行し、(2) 臨界固有モードを不完全として構造に適用し、(3) 非線形静的解析を実行して、構造の非線形座屈後の挙動をシミュレートします。大きな変形と材料の非線形性。 2 つの変形領域、つまり有効ひずみが 0.1 と 3 の \( \%\) は座屈前と座屈後それぞれ、グラウンド トゥルースとしてデータセットに収集されます。 単位セルの生成の詳細については、補足資料を参照してください。

ML モデルは、PyTorch フレームワーク 59 の PyTorch Geometric 58 を使用して実装されます。 このモデルは、エンコーダー、メッセージ受け渡しモジュール、およびデコーダーで構成されます。 エンコーダ関数は、ノード \(v_i\) とエッジ \(e_{ij}\) の特徴をより大きな潜在空間にエンコードします。 このタスクは、ノードとエッジの特徴に対してそれぞれ \(\epsilon ^N\) と \(\epsilon ^E\) という 2 つのニューラル ネットワークを使用して実行されます。 各特徴は、幅 d (つまり、潜在サイズ) の 2 つの層で構成された対応するネットワークに入力され、それぞれが ReLU 非線形活性化関数に関連付けられ、最後に LayerNorm 層が続きます。LayerNorm 層は、平均値と を使用して要素ごとの層正規化 60 を実行します。ミニバッチ全体の標準偏差。 結果として得られる潜在グラフは、メッセージ受け渡しモジュールによって処理されます。 各ノードについて、潜在的な隣接ノードとエッジの特徴がニューラル ネットワーク \(M^E\) によって変換され、合計によって集約されます。 これは、1 つのノードの近隣によって渡されるメッセージを表します。 メッセージは、以前のノードの特徴 (つまり、ノードの状態) とともにニューラル ネットワーク \(U^N\) によって更新され、新しいノードの状態が生成されます。 集約前のメッセージは、新しいエッジ フィーチャを表します。 新しいノードの状態とエッジの特徴は、対応する以前の状態と合計されます (つまり、残差の合計)。 このプロセスは L 回 (つまり、メッセージ ステップ) 繰り返されます。 ネットワーク \(M^E\) と \(U^N\) は、エンコーダ内のネットワークと同じアーキテクチャを持っています。 L 個のメッセージ ステップの後、デコーダでは、潜在ノードの状態がニューラル ネットワーク \(\delta ^N\) によってフィールド出力に変換されます。 マルチステップ予測の場合、アプローチをより一般化するために、2 つのゲート付きリカレント ユニット (GRU) がメッセージ パッシング モジュールの後に挿入され、潜在ノードの状態を隠れた状態として解釈します (補足資料を参照)。 データセット内の各サンプルのノードとエッジの特徴は、sklearn Python ライブラリの関数 StandardScaler を使用して正規化されます。 同様に、グラウンド トゥルース (つまり、節点の物理場) は、社内関数によってトレーニング データに対して計算された平均と標準偏差を使用して正規化されます。 ML モデルの出力は、パフォーマンスの評価と視覚化のために非正規化されます。 モデルのトレーニングでは、平均絶対誤差 MAE を損失関数として使用し、Adam オプティマイザーを使用して、初期学習率を 0.01 に設定し、エポックごとに \(\gamma =0.9\) ずつ指数関数的に減衰します。 過学習を軽減するために、Adam オプティマイザーでは \(5 \times 10^{-4}\) の重み減衰による L2 正則化手法が採用されています。 さらに、メモリ消費を削減するために、トレーニング中にミニバッチ手法が採用されます。 各データセットは、90 \(\%\) のトレーニング データと 10 \(\%\) のテスト データに分割されます。 表 S1 では、各データセットの潜在サイズ、メッセージ ステップ、バッチ サイズ、トレーニング エポックの具体的な値を報告します。 明確にするために、表 S2 では、ノードとエッジのフィーチャ、および各データセットの出力フィールドが追加でレポートされます。 一般性を失うことなく、ネットワークのアーキテクチャの最適化とハイパーパラメータの感度分析は、この作業の目的外であるため、ここでは実行されません。 すべての ML トレーニングと推論は、GPU NVIDIA Quadro P2000、5GB (専用メモリ) で実行されます。 Intel Xeon E3-1270、3.60 GHz、CPU コアも、FE シミュレーションと公平に比較​​するための推論 (目に見えないデータの予測) に利用されます。 詳細については、補足資料を参照してください。

現在の研究中に使用および/または分析されたデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。 ML モデルのコードは、GitHub https://github.com/marcomau06/GNNs_fields_prediction で入手できます。

Gu、GX、Takaffoli、M.、Buehler、MJ 生物由来の複合材料の耐衝撃性を階層的に強化。 上級メーター。 29、1700060 (2017)。

記事 Google Scholar

Yu, S. 他生体模倣界面の不均一性によって設計された 3D プリント繊維強化複合材料の優れた強化および靱化挙動。 上級科学。 9、2103561 (2022)。

記事 CAS Google Scholar

Yuan, S.、Li, S.、Zhu, J.、Tang, Y. 材料加工から構造設計までのポリマー複合材料の積層造形。 コンポ。 工学部B 219、108903 (2021)。

記事 CAS Google Scholar

Mirkhalaf, M.、Zhou, T. & Barthelat, F. トポロジー的に絡み合ったセラミックにおける強度と靱性の同時改善。 手順国立アカド。 科学。 115、9128–9133 (2018)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Djumas, L.、Molotnikov, A.、Simon, GP & Estrin, Y. トポロジカル インターロッキング ジオメトリを利用した、バイオインスピレーションを受けたハイブリッド構造の機械的性能の強化。 科学。 議員6、1-10（2016）。

記事 Google Scholar

Estrin, Y.、Krishnamurthy, VR & Akleman, E. トポロジー的および幾何学的連動に基づいた建築材料のデザイン。 J.マーケット。 解像度 15、1165–1178 (2021)。

Google スカラー

Moestopo、WP、Mateos、AJ、Fuller、RM、Greer、JR & Portela、CM ロープを押したり引いたり: 階層的な織物素材。 上級科学。 7、2001271 (2020)。

記事 CAS Google Scholar

Meza、LR、Das、S. & Greer、JR 強力で軽量、回復可能な 3 次元セラミック ナノ格子。 サイエンス 345、1322–1326 (2014)。

記事 ADS CAS Google Scholar

チェン、W.ら。 マクスウェル基準を超える硬い等方性格子。 科学。 上級 5、eaaw1937 (2019)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Vangelatos、Z. et al. 欠陥による強度: 設計された材料を最適化するための新しいベイジアン アプローチ。 科学。 上級 7、eabk2218（2021）。

記事 ADS Google Scholar

メザ、LRら。 弾力性のある 3D 階層構造のメタマテリアル。 手順国立アカド。 科学。 112、11502–11507 (2015)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Zhang、M.ら。 生物からインスピレーションを得た構造を備えた 3D プリントされた Mg-Ti 相互貫入相複合材料の損傷耐性について。 ナット。 共通。 13、1–13 (2022)。

ADS Google Scholar

チェン、C.-T. & Gu、GX 逆伝播とアクティブ ラーニングを使用した逆材料設計のための生成ディープ ニューラル ネットワーク。 上級科学。 7、1902607 (2020)。

記事 CAS Google Scholar

Challapalli, A. & Li, G. 機械学習によって設計された優れた座屈耐性を備えた 3D 印刷可能な生体模倣ロッド。 科学。 議員 10、1–9 (2020)。

記事 Google Scholar

モザファール、M.ら。 深層学習は経路依存の可塑性を予測します。 手順国立アカド。 科学。 116、26414–26420 (2019)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Reddy, JN 『非線形有限要素解析入門 第 2 版: 伝熱、流体力学、固体力学への応用』 (OUP オックスフォード、オックスフォード、2014 年)。

MATH を予約する Google Scholar

Jung, J.、Yoon, JI、Park, HK、Kim, JY & Kim, HS 構造と特性の関連性を確立するための効率的な機械学習アプローチ。 計算します。 メーター。 科学。 156、17–25 (2019)。

記事 Google Scholar

Brunton, S.、Noack, B.、Koumoutsakos, P. 流体力学の機械学習。 arXiv プレプリント arXiv:1905.11075 (2019)。

Dai、D. et al. 材料設計アプリケーション向けの機械学習支援マイニングによるデータからの構造と特性の関係の手法構築。 メーター。 デザイン 196、109194 (2020)。

記事 CAS Google Scholar

コチコフ、D. et al。 機械学習で加速された数値流体力学。 手順国立アカド。 科学。 118、e2101784118 (2021)。

記事 MathSciNet CAS Google Scholar

Schmidt, J.、Marques, MR、Botti, S.、Marques, MA 固体材料科学における機械学習の最近の進歩と応用。 npj 計算。 メーター。 5、1–36 (2019)。

記事 Google Scholar

Wen, J.、Zou, Q. & Wei, Y. リチウム金属の温度と時間依存の変形とその有限要素実装に関する物理学主導の機械学習モデル。 Ｊ．Ｍｅｃｈ． 物理学。 ソリッド 153、104481 (2021)。

記事 CAS Google Scholar

Raissi, M.、Yazdani, A. & Karniadakis, GE 隠れた流体力学: 流れの可視化から速度と圧力場を学ぶ。 サイエンス 367、1026–1030 (2020)。

記事 ADS MathSciNet CAS MATH Google Scholar

Mao, Y.、He, Q.、Zhao, X. 敵対的生成ネットワークを使用した複雑なアーキテクチャのマテリアルの設計。 科学。 上級 6、eaaz4169 (2020)。

記事 ADS Google Scholar

Gu、GX、Chen、C.-T. & De Buehler、MJ 機械学習アルゴリズムに基づく novo 複合設計。 極限。 メカ。 レット。 18、19–28 (2018)。

記事 Google Scholar

ヤン、Z.ら。 シミュレーション データセットから高コントラスト複合材料の構造と特性の関連性をマイニングするための深層学習アプローチ。 計算します。 メーター。 科学。 151、278–287 (2018)。

記事 CAS Google Scholar

Yang, C.、Kim, Y.、Ryu, S. & Gu, GX 畳み込みニューラル ネットワークを使用して弾性限界を超える複合特性を予測します。 MRSコミュ。 9、609–617 (2019)。

記事 CAS Google Scholar

胡、Y.-J. 他。 機械学習によるsio2ベースのガラスの密度と弾性率の予測。 NPJ コンピューティング。 メーター。 6、1–13 (2020)。

記事 ADS Google Scholar

Yang, C.、Kim, Y.、Ryu, S. & Gu, GX 畳み込みニューラル ネットワークを使用した複合微細構造の応力-ひずみ曲線の予測。 メーター。 デザイン 189、108509 (2020)。

記事 Google Scholar

Maurizi, M.、Gao, C. & Berto, F. 深層学習手法に基づくインターロッキング メカニズムの設計。 応用工学科学。 7、100056 (2021)。

Google スカラー

Gu、GX、Chen、C.-T.、Richmond、DJ & Buehler、MJ 機械学習を使用した生物インスピレーションによる階層複合設計: シミュレーション、積層造形、実験。 メーター。 ホリズ。 5、939–945 (2018)。

記事 CAS Google Scholar

Hanakata、PZ、Cubuk、ED、Campbell、DK & Park、HS 機械学習を使用して伸縮性グラフェン切り紙の探索と設計を加速。 物理学。 レット牧師。 121、255304 (2018)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Hanakata、PZ、Cubuk、ED、Campbell、DK & Park、HS 教師ありオートエンコーダーによる切り紙の順方向および逆方向設計。 物理学。 Rev. Res. 2、042006 (2020)。

記事 CAS Google Scholar

Kim, B.、Lee, S.、Kim, J. 人工ニューラル ネットワークを使用した多孔質材料の逆設計。 科学。 上級 6、eaax9324 (2020)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Kumar, S.、Tan, S.、Zheng, L.、Kochmann, DM 逆設計スピノドイド メタマテリアル。 npj 計算。 メーター。 6、1–10 (2020)。

記事 CAS Google Scholar

ワン、L.ら。 メタマテリアル システムの機構ベースの学習と設計のための深い生成モデリング。 計算します。 メソッドの適用。 メカ。 工学 372、113377 (2020)。

記事 ADS MathSciNet MATH Google Scholar

Guo、K.、Yang、Z.、Yu、C.-H. & Buehler、MJ 機械材料の設計における人工知能と機械学習。 メーター。 ホリズ。 8、1153–1172 (2021)。

記事 CAS Google Scholar

Bastek, J.-H.、Kumar, S.、Telgen, B.、Glaesener, RN & Kochmann, DM 深層学習によるトラス メタマテリアルの構造特性マップの反転。 手順国立アカド。 科学。 119、e2111505119 (2022)。

記事 CAS Google Scholar

Coli, GM、Boattini, E.、Filion, L. & Dijkstra, M. 深層学習ベースの進化戦略によるソフトマテリアルの逆設計。 科学。 上級 8、eabj6731 (2022)。

記事 ADS Google Scholar

Liang, L.、Liu, M.、Martin, C. & Sun, W. 応力分布を推定するための深層学習アプローチ: 有限要素解析の高速かつ正確な代用。 JR協会インターフェース 15、20170844 (2018)。

記事 Google Scholar

Frankel, A.、Tachida, K.、Jones, R. ハイブリッド ニューラル ネットワーク モデルを使用した、弾塑性変形を受ける多結晶の応力場の進化の予測。 マッハ。 学ぶ。 科学。 テクノロジー。 1、035005 (2020)。

記事 Google Scholar

Feng, H. & Prabhakar, P. 異種メディアにおけるストレス予測のための差分ベースの深層学習フレームワーク。 コンポ。 構造体。 269、113957 (2021)。

記事 Google Scholar

Wang, Y. et al. 脆性材料における破壊伝播を伴う応力を予測するためのストレスネットディープラーニング。 NPJメーター。 劣化する。 5、1–10 (2021)。

記事 Google Scholar

Bhaduri, A.、Gupta, A.、Graham-Brady, L. 深層学習アプローチを使用した繊維強化複合材料の応力場予測。 コンポ。 工学部B 238、109879 (2022)。

記事 CAS Google Scholar

Croom, BP、Berkson, M.、Mueller, RK、Presley, M. & Storck, S. 複雑な欠陥ネットワークを持つ積層造形金属における応力場の深層学習予測。 メカ。 メーター。 165、104191 (2022)。

記事 Google Scholar

Nie, Z.、Jiang, H. & Kara, LB 畳み込みニューラル ネットワークを使用したカンチレバー構造の応力場予測。 Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ． 情報科学。 工学 20、011002 (2020)。

記事 Google Scholar

ヤン、Z.、ユウ、C.-H. & Buehler、MJ 階層複合材料の複雑な応力場とひずみ場を予測する深層学習モデル。 科学。 上級 7、eabd7416 (2021)。

記事 ADS Google Scholar

Mianroodi、JR、H Siboni、N. & Raabe、D. 固体力学を人工知能に教える - 異種材料の高速ソルバー。 NPJ コンピューティング。 メーター。 7、1–10 (2021)。

記事 Google Scholar

Gilmer, J.、Schoenholz, SS、Riley, PF、Vinyals, O. & Dahl, GE 量子化学のためのニューラル メッセージ パッシング。 機械学習に関する国際会議、1263 ～ 1272 年 (PMLR、2017)。

Pfaff, T.、Fortunato, M.、Sanchez-Gonzalez, A.、Battaglia, PW グラフ ネットワークを使用したメッシュベースのシミュレーションの学習。 arXiv プレプリント arXiv:2010.03409 (2020)。

Sanchez-Gonzalez、A. et al. グラフ ネットワークを使用して複雑な物理をシミュレートする方法を学習します。 機械学習に関する国際会議、8459–8468 (PMLR、2020)。

Perera, R.、Guzzetti, D.、Agrawal, V. 脆性材料における亀裂の合体と伝播をシミュレートするためのグラフ ニューラル ネットワーク。 計算します。 メソッドの適用。 メカ。 工学 395、115021 (2022)。

記事 ADS MathSciNet MATH Google Scholar

Yang, Z.、Yu, C.-H.、Guo, K. & Buehler, MJ 複雑な階層複合微細構造の完全なひずみおよび応力テンソルを予測するためのエンドツーエンドの深層学習手法。 Ｊ．Ｍｅｃｈ． 物理学。 ソリッド 154、104506 (2021)。

記事 MathSciNet Google Scholar

Wang、Z.ら。 場の進化の超高速シミュレーションのための複数入力畳み込みネットワーク。 パターン 3、100494 (2022)。

記事 Google Scholar

ウー、Z.ら。 グラフ ニューラル ネットワークに関する包括的な調査。 IEEEトランス。 ニューラル ネットワークを学びます。 システム。 32、4–24 (2020)。

記事 MathSciNet Google Scholar

Li, Y.、Kaynia, N.、Rudykh, S. & Boyce, MC 層状複合材料における界面層のしわ。 上級工学メーター。 15、921–926 (2013)。

CAS Google スカラー

Maurizi, M.、Gao, C. & Berto, F. 優れた耐座屈性を備えたトラス格子材料の逆設計。 npj 計算。 メーター。 8、247。 https://doi.org/10.1038/s41524-022-00938-w (2022)。

記事 ADS Google Scholar

Fey, M. & Lenssen, JE pytorch ジオメトリックを使用した高速グラフ表現学習。 arXiv プレプリント arXiv:1903.02428 (2019)。

Paszke、A. et al. Pytorch: 命令型スタイルの高性能深層学習ライブラリ。 上級神経情報プロセス。 システム。 32、8024–8035 (2019)。

Google スカラー

Ba、JL、Kiros、JR & Hinton、GE レイヤーの正規化。 arXiv プレプリント arXiv:1607.06450 (2016)。

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マルコ・マウリツィ、チャオ・ガオ、フィリッポ・ベルト

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MM はアイデアを考案し、モデルを開発し、シミュレーションを実行し、機械学習のトレーニングとテストを厳選しました。 MM と CG は結果を分析し、解釈しました。 MMさんが原稿を書きました。 MM、CG、FBが原稿を修正しました。 CGとFBが監修しました。

マルコ・マウリツィへの通信。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

シュプリンガー ネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

補足２．

補足３．

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転載と許可

Maurizi, M.、Gao, C. & Berto, F. グラフ ニューラル ネットワークを使用した材料と構造の応力、ひずみ、および変形フィールドの予測。 Sci Rep 12、21834 (2022)。 https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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受信日: 2022 年 8 月 23 日

受理日: 2022 年 12 月 14 日

公開日: 2022 年 12 月 17 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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